Álgebra Lineal

Rm.◊Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn  Transformaciones lineales  Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Por ejemplo, en el capítulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visión dinámica y gráfica de la multiplicación matriz-vector.  1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto pued...

Transformaciones lineales: núcleo e imagen.  Teorema  1  Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,  v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:  i. T(0) = 0  ii. T(u - v) = Tu - Tv  iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn  Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la  derecha es el vector cero en W.  Teorema 2  Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1,  w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V  en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈  V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.  Ejemplo: Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal  Sean V y W dos espacios vect...

5.1 Introducción a las transformaciones lineales.  Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre Kespacios vectoriales que son compatibles con  la estructura (es  decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades  de  los  espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación  por  escalares.  Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a sistemas de ecuaci...

Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo. Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v). EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3 En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). Entonces Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t. Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.  EJEMPLO: dos vectores ortogonales en C2   En C2...

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los  En R3 se escribieron los vectores en términos  de Ahora se generalizara esta idea. BASEUn conjunto finito de vectores   es una base para un espacio vectorial V si Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn. En Rn se define    Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1),   por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.  EJEMPLO: base canonica para M22  Se vio que   generan entonces es evidentemente que   Así, estas cuatro  matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base cononica para M22  TEOREMA: si  es una base para V y si vÎV, entonces existe un  c...