5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

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Transformaciones lineales: núcleo e imagen. 
Teorema  1 
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, 
v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an: 
i. T(0) = 0 
ii. T(u - v) = Tu - Tv 
iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn 
Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de
la 
derecha es el vector cero en W. 
Teorema 2 
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}.
Sean w1, 
w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones
lineales de V 
en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier
vector v ∈ 
V, T1v = T2v; es decir T1 = T2. 

Ejemplo:














Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal 
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal.
Entonces 
i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por. 






ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por





Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1,
T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene
interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo,
observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la
derecha en W. 
Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los
vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la
imagen de v bajo T. 
Teorema 4 
Si T:V W es una transformación lineal, entonces 
i.Un T es un subespacio de V. 
ii.Im T es un subespacio de W. 
  
Demostracion 
i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) =  = 0 = 0 de
forma que u + v y ∝u están en un T. 
ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V.
Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w +
x y ∝w están en Im T. 
  
Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación cero 
Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T
= {0}. 



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