4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

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Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si
para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único
(u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC,
entonces














La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.
Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3
En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). Entonces






Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con
el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector”
en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.
Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0. 

EJEMPLO: dos vectores ortogonales en C2  
En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto ortonormal
El conjunto de vectores  es un conjunto ortonormal en V si

Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.

TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero
en un espacio con producto interno es linealmente independiente.

TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con
producto interno se puede convertir en un conjunto ortogormal mediante el
proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno
tiene una base ortonormal.

Proyección ortogonal

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal



Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv esta 
dada por (6)  
Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes
en Rn.
TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V.
suponga que H tiene dos bases ortornormales 



Sea entonces


Complemento ortogonal
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el
complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)



TEOREMA: si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces
 





TEOREMA DE PROYECCIÓN: sea H un subespacio de dimensión finita del
espacio con producto interno V y suponga que vϵV. entonces existe un par único
de vectores h y p tales que hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv.

Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv.

TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios
linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor
propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores
propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya
que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1). 

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. 
Conjunto ortonormal en R

Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto
ortonormal si (1) (2) 




 Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.
Si u, v y w en Rn y α es un número real, entonces (3) (4) (5) (6)(7) 

Ahora se presenta otra definición útil
Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, está dada por (8)
Nota. si  entonces v*v= 

significa que (9)  
De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)


 TEOREMA:  si  S= es un conjunto ortogonal de vectores 
diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Suponga que 
ntonces, para cualquier i=1,2,…,k

Como v≠0 por hipótesis |v|2>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,…,k, lo 
que completa la prueba.


Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt 

Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base
ortonormal. 

Sea S= una base de H. se probara el teorema construyendo 
una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasos para esta
construcción, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores
linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Elección del primer vector unitario 

Sea (12)  

Entonces 


 De manera que |u|=1.

Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u 

Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector es la
ortogonal a v. en este caso es la proyeccion de u sobre v. esto se ilustra 
en la siguiente figura. 
Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para
cualquier n≥2. 


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