5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y rotación

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Rm.◊Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como
transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas
de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas
al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La
notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn 
Transformaciones lineales 
Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este
texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Por ejemplo, en el
capítulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visión dinámica y gráfica
de la multiplicación matriz-vector. 
1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio
euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio
euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto
de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal
situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es
realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es
como producir la imagen espejo de la matriz actual. 
2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos
dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un
cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del
conjunto de puntos dado con un término escalar hacia la dirección donde tiene que
ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección
de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6). 
3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el
punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto
de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x
entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8). 
4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto
puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza
para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la
rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las
manecillas del reloj. 
Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de
la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través de
la recta y = (−2x / 3). 
El primer paso para esto es determinar los vectores base. 

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