4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

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Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los




 En R3 se escribieron los vectores en términos  de






Ahora se generalizara esta idea.
BASEUn conjunto finito de vectores  es una base para un
espacio vectorial V si
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.
En Rn se define   
Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene
determinante 1),  por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios. 

EJEMPLO: base canonica para M22 

Se vio que  generan



entonces es evidentemente que  Así, estas cuatro 
matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se
denomina base cononica para M22 

TEOREMA: si es una base para V y si vÎV, entonces existe un 
conjunto único de escalares tales  que



Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque  
genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una
combinación lineal de los vectores de la base. 

Es decir, suponga que dos bases para V. debe 
demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un
conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una
bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto
prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es
independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una
combinación lineal de las v. se tiene 





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