Unidad 1 Números complejos

1.1. Definición y origen de los números complejos 

DEFINICIÓN

Un número complejo es un par ordenado (a, b) de números reales. Como tal, puede
identificarse con el punto de coordenadas (a, b) en el plano cartesiano. Sin embargo
es más común representar el complejo (a, b) en la forma a + bi, donde i es un
símbolo llamado unidad imaginaria. A este tipo de representación se le llama forma
binómica. El conjunto de todos los números complejos se denota C. El plano en el
cual representamos los números complejos se conoce con el nombre de plano de
Argand-Gauss, por el matemático francés J. R. Argand (1768-1822).
Un número complejo es una expresión con dos sumandos: uno es un número real
y el otro es un número real por una letra i. Por ejemplo, z es un ejemplo de número
complejo:
z = 3 + 4i
 El sumando sin la i se denomina parte real, mientras que el número que acompaña
a la i se denomina parte imaginaria del número complejo. En el ejemplo anterior, 3
es la parte real y se indica 3 = Re(z); mientras que 4 es la parte imaginaria y se
indica 4 = Im(z).
Un número complejo también puede escribirse en forma de par ordenado; en el
ejemplo, el número complejo z = 3 + 4i también puede escribirse como (3, 4), siendo
la primera coordenada la parte real, y la segunda coordenada la parte imaginaria.
Así pues, un número complejo es un número formado por una parte real, a, y una
parte imaginaria, b, que se escribe:

 a + bi o bien, (a, b)




ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
“La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos
proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el
siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide.
Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de
fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron
encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano”.
Primeras referencias: SI-SXII
La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un número negativo la
encontramos en la obra Stereometría de Herón de Alejandría (Greciaaprox. 10-75)
alrededor de la mitad del siglo I. Es este trabajo comparece la operación √81 − 144
aunque es tomada como √144 − 81, no subiéndose si este error es debido al propio
Herón o al personal encargado de transcribirlo. La siguiente referencia sobre esta
cuestión se data en el año 275 en la obra de Diophantus (aprox. 200-284)
Arithmetica. En su intento de cálculo de los lados de un triángulo rectángulo de
perímetro 12 y  área 7, Diophantus planteó resolver la ecuación 336x
 + 24 = 172x,
ecuación de raíces complejas como puede ser comprobado fácilmente.
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Son los matemáticos hindúes los que dan las primeras explicaciones a este tipo de
problemas. Mahavira, alrededor del año 850, comenta en su tratado de los números
negativos que “como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un
cuadrado, por tanto no puede tener raíz cuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara
quien lo describe de la siguiente forma: El cuadrado de un número, positivo o
negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos valores, uno
positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un número negativo ya que un
número negativo no es un cuadrado.
En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matemático, físico y filósofo italiano,
publica ”Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe un método para resolver
ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra se convertía así en el
mayor tratado de ´algebra desde los Babilónicos, 3000 años antes, que dedujeron
cómo resolver la ecuación cuadrática.
A principios de 1620, Albert Girard sugiere que las ecuaciones de grado n tienen n
raíces. Esta Premonición del teorema fundamental del algebra estaba en este caso
planteada de forma vaga y sin rigor.
René Descartes (Francia, 1596-1650), que bautizó con el nombre de imaginarios a
los nuevos números, apuntó también que toda ecuación debía tener tantas raíces
como indica su grado, aunque números no reales podían ser alguna de ellas.
L. Euler (1707-1783)
Los números complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por
Jean D’Alembert en hidrodinámica y por Euler, D’Alembert y Joseph-Louis Lagrange
en pruebas erróneas del teorema fundamental del ´algebra. Euler fue el primero en
usar la notación i = √−1, haciendo además un uso fundamental de los números
complejos al relacionar la exponencial con las funciones trigonométricas por la
expresión eix = cos x + isen x. Euler se expresaba en los siguientes términos:
Como todos los números imaginables son mayores, menores o iguales a cero,
entonces es claro que la raíz cuadrada de un número negativo no puede ser uno de
estos Números, [...] y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales números,
que por su naturaleza son imposibles y ordinariamente son llamados imaginarios o
números falsos, porque sólo existen en la imaginación