2.4 Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz. Núcleo y rango de una matriz.

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La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una
matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será
posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a
continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de
F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número
distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:
Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la
matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el
pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:




A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por
rg (E), como el número de filas no nulas de E.


En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no
podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las
matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) =
n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz
cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada
en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales
por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por
filas de A son tres:

Intercambiar la posición de dos filas.

Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido
previamente multiplicada por un número cualquiera. 
Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las
transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones
lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz
cualquiera en otra escalonada.

=Teorema=
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de
transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la
componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el
resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la
componente (2,2), y así sucesivamente. 














El teorema anterior nos permite hacer una definición importante: 

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A)
como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra
que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El
rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de
columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de
antes, el rango es 3. 




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