4.3 Combinación lineal. Independencia lineal

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COMBINACIÓN
LINEAL

Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector
de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina
una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Una combinación lineal en M23





Conjunto 
generador. 

Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si
todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es
decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que
v=a1v1+a2v2+…+anvn

Cuatro vectores que generan a M22 





Espacio generado por un conjunto de vectores. 

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por
{v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decir
donde a1, a2, …, ak, son escalares donde a1, a2, …, ak, son 
escalares

Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces
gen{v1,  v2, …, vk} es un subespacio de V. 

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}.
¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2
y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se
pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas a1, a2. Este
sistema se resuelve en la forma usual: 








NDEPENDENCIA 
LINEAL 
En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o
independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de
independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas 
homogéneos de  ecuaciones y determinantes. 

Existe una relación espacial entre los vectores  se 
puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1v2=0.



En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no
trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son
ambos 
cero). ¿Qué tienen de especial los 


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