4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades

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Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se
denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con
respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un
criterio simple para identificar subespacios es el siguiente. 

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V.
entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:
0єW
W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u,
vєW, la suma u+vєW.
W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo
kєK el múltiplo kuєW.


Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:
0єW.
au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.


Ejemplo: sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la
intersección UÇW es también subespacio de V. claramente, 0ÎU y 0ÎW, porque U y
W son subespacios, de donde 0ÎUÇW. supongamos ahora que u, vÎUÇW.
entonces u, vÎU y u, vÎE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuÎU y u+v,
kuÎW para cualquier escalar k. así u+v, kuÎUÇW y por consiguiente UÇW es un
subespacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio
vectorial V es un subespacio de V.

Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n
incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto
solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema
homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0.
Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0ÎW además,
si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente
Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos
A(au+bv)=aAu+bAv=a0+b0=0+0=0. De esta manera, au + bv es también una
solución de AX=0 o, dicho de otro modo, au+bvÎW. En consecuencia, según el
corolario, hemos demostrado: 

Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas
AX=0 es un subespacio de kn.

Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema inhomogéneo AX=B
no es subespacio de Kn. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho
conjunto solución.

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