3.5 Aplicaciones.

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=Fracciones parciales =

Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella
conocida como fracciones idea principal consiste en cambiar la forma que puede
ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para
cierto tipo de cálculo.

Ejemplo 4.1 Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan: 







SOLUCIÓN
















Ejemplo: (Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que
satisfagan:





SOLUCIÓN

= Determinación de curvas =

Un problema común en diferentes áreas es la determinación de curvas. es decir el
problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente
se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener
la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace
para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la
función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos
parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos. 

Ejemplo: Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P (1, 4), Q(−1,
2), y R(2, 3).  

Solución
La forma más general de una cuadrática es: f (x) = a x2 + b x + c donde los
coeficientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en
determinar estos coeficientes. 

Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas
determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para
determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos.

Para que la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4, 
es decir, se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4
es decir, se debe cumplir: a + b + c =4 

Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación: a − b
+ c =2 y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3.
Resumiendo para que la función f (x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P , Q, y
R deben cumplirse las ecuaciones: 
a + b + c = 4
a − b + c = 2
4a + 2b + c = 3
La solución a este sistema es: a = 2/3, b = 1, y c =11/3

La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que
originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de
funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo 
que se concluye es que no existe una función con esa forma general que pase
exactamente por los puntos dados. 

=Balanceo de Reacciones Químicas=
Una aplicación sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de
reacciones químicas. La
problemática consiste en determinar el número entero de moléculas que
intervienen en una reacción química
cuidando siempre que el número de átomos de cada sustancia se preserve.

Ejemplo Balancee la reacción química: aCH4 + bO2=cCO2 + dH2O

Solución: Para determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el numero
de moléculas de las sustancias en la reacción debemos igualar el numero
de átomos en cada miembro:
Por los átomos de carbono: a = c. Por los átomos de oxigeno: 2 b = 2 c + d. Por
los átomos de hidrógeno: 4 a = 2 d

Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La f´ormula general para
las soluciones queda:
a = 1/2 d
b = d
c = 1/2 d

El valor más pequeño de d que hace que los números de moléculas sean enteros
positivos es d = 2: a = 1, b = 2, c = 1, y d = 2

=Aplicaciones a Manufactura= 
Ejemplo: Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales:
ca˜non, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo ca˜non
necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar sus
programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2
para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para
ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la f´abrica
dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas
para instalación de programas, ¿cu´antas computadoras se pueden producir por
mes? 

Solución
En nuestro caso las incógnitas el n´umero de cada tipo de computadora a
producir:
x = n´umero de computadoras cañón
y = n´umero de computadoras clon
z = n´umero de computadoras lenta-pero-segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado,
pruebas, e instalación de programas.

Ensamblado: 556(total) = 12 x(cañon) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)
Pruebas: 120(total) = 2.5 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)
Instalación de programas: 103(total) = 2 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)
Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18

Dado lo común de las aplicaciones hacia el área de manufactura, existe una forma
simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja
como una tabla:
En la ultima columna aparecen los recursos: un renglón para cada tipo de recursos
y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles. 
En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o
construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en
forma unitaria cada tipo de objeto.












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