2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

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Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de
esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar
la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible
hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de
B*A.

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A
y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como
resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices
resultantes serán, en general, distintas.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz
identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos
plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2,
podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un
número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro,
el 1.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para
obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un número real es otro
número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz
cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de
matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el
elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas
diferencias con respecto al caso de los números reales:
No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido
la división de matrices.
No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea,
por analogía con los números).

Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa: Dada una matriz
cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es
no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada
matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A * A−1 = In y A−1 * A = In

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una).

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