2.2 Operaciones con matrices.

-

SUMA:





Propiedades

-Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
(A + B) + C = A + (B + C)

-Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A

-Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A


PRODUCTO POR UN ESCALAR:

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el
escalar por cada elemento de A



Propiedades

Sean A y B matrices y c y d escalares.

-Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

-Asociatividad: (cd)A = c(dA)

-Elemento Neutro: 1·A = A

-Distributividad:

-De escalar: c(A+B) = cA+cB

 -De matriz: (c+d)A = cA+dA


PRODUCTO DE DOS MATRICES: 

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la
matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es
una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la
matriz m×p (m filas, pcolumnas).
 
Por ejemplo:



Propiedades

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el
producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
-Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
 
-Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
 
-Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
 
-En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No
necesariamente A ó B son matrices nulas 
-El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B =
A.C, No necesariamente B=C. 
-El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA.
La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A
/ B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa,
sólo aplicable a las matrices invertibles.
 
Si A es una matriz m x r y B es una matriz r x n, entonces el producto AB es la
matriz m x n cuyos elementos se determinan como sigue. Para encontrar el
elemento en el renglón "i" y en la columna "j" de AB, considerar solo el renglón "i"
de la matriz A y la columna "j" de la matriz B. Multiplicar entre si los elementos
correspondientes del renglón y de la columna mencionados y luego sumar los
productos restantes.

Ejemplo:




Como A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 3 x 4, el producto AB es una matriz
2 x 4. Para determinar, por ejemplo, el elemento en el renglón 2 y en la columna 3 
de AB, solo se consideran el renglón 2 de A y la columna 3 de B. Luego, como se
ilustra a continuación, los elementos correspondientes (en tipo negro) se
multiplican entre si y se suman los productos obtenidos.





 (2*4) + (6*3) + (0*5) = 26
 
y así obtenemos el siguiente resultado:

(1*4) + (2*0) + (4*2) = 12 
(1*1) + (2*1) + (4*7) = 27 
(1*4) + (2*3) + (4*5) = 30 
(1*3) + (2*1) + (4*2) = 13                            
(2*4) + (6*0) + (0*2) = 8 
(2*1) + (6*1) + (0*7) = -4 
(2*3) + (6*1) + (0*2) = 12








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