1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo

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La formula  Z W = |z|  |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar
la potencia enésima de un numero complejo.

Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se
obtiene:


Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, y
proporciona un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de
cualquier numero complejo en forma polar.

Ejemplo. Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°).  
Calcule la potencia de orden cinco de este numero, es decir, Z^5


 

EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga:



donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de
Z. Esto lo denotamos por:

En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de
orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces . Concretamente,
se tiene la siguiente propiedad:

Todo número complejo tiene exactamente n reices n - esimas. Así por ejemplo 1
tiene 4 raíces cuartas, pues: 
Luego 1, -1, i, y -i son las reices cuartas de 1. 

A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número
complejo. Sea Z = |Z| (cos θ + i sen θ). 

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre
una circunferencia con centro en el origen y radio 2 . Además todas ellas están a
la misma distancia de las otras: formando los vértices de un triángulo equilatero, tal
como puede verse en la figura siguiente:

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